Series de Taylor-Maclaurin

SERIE DE TAYLOR

¿Qué es?

La serie de Taylor es una serie funcional y surge de una ecuación en la cual se puede encontrar una solución aproximada a una función.

¿Para que sirve?

La serie de Taylor proporciona una buena forma de aproximar el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto. Por supuesto, para hacer esta aproximación sólo se pueden tomar unas cuantas expresiones de esta serie, por lo que el resto resulta en un error conocido como el término residual, es a criterio del que aplica la serie en numero de términos que ha de incluir la aproximación.

¿Cómo funciona?

La serie de Taylor se basa en ir haciendo operaciones según una ecuación general y mientras mas operaciones tenga la serie mas exacto será el resultado que se esta buscando. Dicha ecuación es la siguiente:

o expresado de otra forma





Donde n! es el factorial de n
F(n) es la enésima derivada de f en el punto a


Como se puede observar en la ecuación, hay una parte en la cual hay que desarrollar un binomio (x-a) n por lo que para simplificar el asunto se igualara a "a" siempre a 0. Para fines prácticos no afecta mucho en el resultado si se hacen muchas operaciones en la serie.

¿Cuántos términos se requieren para obtener una “aproximación razonable”?

La ecuación para el término residual se puede expresar como:

Significa que el error de truncamiento es de orden hn+1. El error es proporcional al tamaño del paso h elevado a la (n+1)-ésima potencia.

SERIE DE MACLARIN

En matemáticas, la serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se define con la siguiente suma: sin(x) y aproximaciones de Taylor centradas en 0, con polinomios de grado 1, 3, 5, 7, 9, 11 y 13.

f(x) = \sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^(n)(a)}{n!} (x-a)^{n}


Aquí, n! es el factorial n y f (n)(a) indica la n-ésima derivada de f en el punto a.

Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor. Si a = 0, a la serie se le llama serie de Maclaurin.

Esta representación tiene tres ventajas importantes:

* La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales.

 * Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la función.

* Es posible demostrar que, si es viable la transformación de una función a una serie de Taylor, es la óptima aproximación posible. 

Implementacion en Matlab:

clear;
clc;
x=input('ingrese el valor de x: ')
t=input('ingrese el nùmero de términos: ')
a=0;
s=0;
for n=0:t
s=s+..diff('exp(a)',n))/fac_(n)*x^n;;
end
fprintf('e^(%0.4f)=%f ..n',x,s)
fx=exp(x);
fprintf('La solución analítica es = %f ..n',fx)
errorabsoluto=abs(fx-s);
fprintf('El error absoluto es %0.6f ..n', errorabsoluto)
errorrelativo=abs(fx-s)/fx;
fprintf('El error relativo es %0.6f ..n', errorrelativo)
relat_x100=errorrelativo*100;
fprintf('Porcentaje de error es %0.6f ..n', relat_x100)
exactitud=1-errorrelativo;
fprintf('La exactitud del cálculo es %0.6f ..n', exactitud)

Tipos de errores

INTRODUCCIÓN

A lo largo del tiempo, los métodos numéricos han sido desarrollados con el objeto de resolver problemas matemáticos cuya solución es difícil o imposible de obtener por medio de los procedimientos tradicionales. 

Las soluciones que ofrecen los métodos numéricos son aproximaciones de los valores reales y, por tanto se tendrá un cierto grado de error que será conveniente determinar. Las aproximaciones numéricas pueden introducir errores la pregunta es ¿Qué error puede considerarse tolerable?

EXACTITUD Y PRECISIÓN

Los errores asociados con los cálculos y medidas se pueden caracterizar observando su precisión y exactitud. La precisión se refiere a 1) el numero de cifras significativas que representa una cantidad o 2) la extensión en las lecturas repetidas de un instrumento que mide alguna propiedad física. La exactitud se refiere a la aproximación de un número o de una medida al valor verdadero que se supone representa.

DEFINICIÓN DE ERROR

Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para  representar las operaciones y cantidades matemáticas. Esto incluye errores de truncamiento que resultan de representar aproximadamente un procedimiento matematico exacto, y los errores de redondeo, que resultan de presentar aproximadamente números exactos. Para los tipos de errores, la relación entre el resultado exacto o verdadero y el aproximado esta dado por :

Valor verdadero = valor aproximado + error ( Ec.1 )

Reordenando la ecuación Ec.1, se encuentra que el error numérico es igual a la diferencia entre el valor verdadero y el valor aproximado esto es :

Ev = valor verdadero – valor aproximado

Donde Ev se usa para redondear el valor exacto del error. Se incluye el subíndice v par dar a entender que se trata del “verdadero” error. Un defecto es que muchas veces no se toma en consideración el orden de

magnitud del valor que se esta probando . Por ejemplo, un error de un centímetro es mucho mas significativo si se esta midiendo un remache que un puente. Una manera de medir las magnitudes de las cantidades que se

están evaluendo es normalizar el error respecto al valor verdadero, como en:

Error relativo fraccional = error / valor verdadero

Donde: Error = valor verdadero – valor aproximado.

El error relativo también se puede multiplicar por el 100% para expresarlo como:

 Ev = (error verdadero/ valor verdadero ) 100

Donde Ev denota el error relativo porcentual. El subíndice v significa la normalización del error al valor verdadero . Para los métodos numéricos el valor verdadero únicamente se conocerá cuando se habla de funciones que se pueden resolver analíticamente. Sin embargo, en aplicaciones reales, no se conoce la respuesta verdadera. En estos casos, normalizar el error es una alternativa usando la mejor estimación posible del valor verdadero, esto es a la aproximación misma, como:

Ea = (error aproximado/ valor aproximado)100

Donde el subíndice a significa que el error está normalizado a un valor aproximado .Uno de los retos a que se enfrentas los métodos numéricos es el de determinar estimaciones del error en ausencia de conocimiento de los valores verdaderos. El error se calcula como la diferencia entre la aproximación previa y la actual. Por lo tanto, el error relativo porcentual está dado por:

Ea =abs( ((aproximación actual- aproximación previa )/ aproximación actual) 100)

Si se cumple la relación anterior , entonces se considera que el resultado obtenido esta dentro del nivel aceptable, es decir, aun error previamente fijado.

ERROR POR REDONDEO

Es aquel tipo de error en donde el número significativo de dígitos después del punto decimal se ajusta a un número específico provocando con ello un ajuste en el último dígito que se toma en cuenta. Los errores de redondeo resultan de representar aproximadamente números que son exactos. Proceso mediante el cual se eliminan decimales poco significativos a un número decimal.

ERROR POR TRUNCAMIENTO

Para llevar a cabo operaciones de algunas funciones matemáticas los compiladores ejecutan estas funciones utilizando series infinitas de términos, pero es difícil llevar a cabo estos cálculos hasta el infinito, por lo tanto la serie tendrá que ser truncada. Truncamiento es el término usado para reducir el número de dígitos a la derecha del punto decimal, descartando los menos significativos.

ERRORES POR EQUIVOCACIÓN

En los primeros años de la computación los resultados numéricos erróneos fueron atribuidos algunas veces al mal funcionamiento de la computadora misma. Hoy dia esta fuente de error es muy improbable y la mayor parte de las equivocaciones se atribuye a errores humanos. Las equivocaciones ocurren a cualquier nivel del proceso de modelación matematica y pueden contribuir con todas las otras componentes del error. Las equivocaciones, por lo general se pasan por alto en la discución del método numérico. Esto sin duda prueba el hecho de que los errores de torpeza son, hasta cierto punto inevitables.

ERRORES DE FORMULACIÓN

Los errores de formulación o de modelamiento degeneran en lo que se podría considerar como un modelo matemático incompleto, ya que si se esta usando un modelo deficiente, ningún método numérico generara los

resultados adecuados.

Primer Parcial

El alumno identificara los distintos tipos de errores que se generan al emplear los métodos numericos en la resolución de problemas y graficará funciones.

• Tipos de errores
• Series de Taylor-Maclaurin
• Numeros de punto flotante en 32 y 64 bits
• Graficador XY
• Raices de ecuaciones

Bienvenida

Abro este blog con el fin de presentarlo como proyecto final de esta materia, presentare temas lo mejor explicado posible y adjuntare programas con el fin de reforzar el conocimiento de los temas.

Cualquier duda, queja o sugerencia es bien recibida. Sin mas por el momento Comeeeennnnzzaaaamooooosss !!