Series de Taylor-Maclaurin

SERIE DE TAYLOR

¿Qué es?

La serie de Taylor es una serie funcional y surge de una ecuación en la cual se puede encontrar una solución aproximada a una función.

¿Para que sirve?

La serie de Taylor proporciona una buena forma de aproximar el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto. Por supuesto, para hacer esta aproximación sólo se pueden tomar unas cuantas expresiones de esta serie, por lo que el resto resulta en un error conocido como el término residual, es a criterio del que aplica la serie en numero de términos que ha de incluir la aproximación.

¿Cómo funciona?

La serie de Taylor se basa en ir haciendo operaciones según una ecuación general y mientras mas operaciones tenga la serie mas exacto será el resultado que se esta buscando. Dicha ecuación es la siguiente:

o expresado de otra forma





Donde n! es el factorial de n
F(n) es la enésima derivada de f en el punto a


Como se puede observar en la ecuación, hay una parte en la cual hay que desarrollar un binomio (x-a) n por lo que para simplificar el asunto se igualara a "a" siempre a 0. Para fines prácticos no afecta mucho en el resultado si se hacen muchas operaciones en la serie.

¿Cuántos términos se requieren para obtener una “aproximación razonable”?

La ecuación para el término residual se puede expresar como:

Significa que el error de truncamiento es de orden hn+1. El error es proporcional al tamaño del paso h elevado a la (n+1)-ésima potencia.

SERIE DE MACLARIN

En matemáticas, la serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se define con la siguiente suma: sin(x) y aproximaciones de Taylor centradas en 0, con polinomios de grado 1, 3, 5, 7, 9, 11 y 13.

f(x) = \sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^(n)(a)}{n!} (x-a)^{n}


Aquí, n! es el factorial n y f (n)(a) indica la n-ésima derivada de f en el punto a.

Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor. Si a = 0, a la serie se le llama serie de Maclaurin.

Esta representación tiene tres ventajas importantes:

* La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales.

 * Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la función.

* Es posible demostrar que, si es viable la transformación de una función a una serie de Taylor, es la óptima aproximación posible. 

Implementacion en Matlab:

clear;
clc;
x=input('ingrese el valor de x: ')
t=input('ingrese el nùmero de términos: ')
a=0;
s=0;
for n=0:t
s=s+..diff('exp(a)',n))/fac_(n)*x^n;;
end
fprintf('e^(%0.4f)=%f ..n',x,s)
fx=exp(x);
fprintf('La solución analítica es = %f ..n',fx)
errorabsoluto=abs(fx-s);
fprintf('El error absoluto es %0.6f ..n', errorabsoluto)
errorrelativo=abs(fx-s)/fx;
fprintf('El error relativo es %0.6f ..n', errorrelativo)
relat_x100=errorrelativo*100;
fprintf('Porcentaje de error es %0.6f ..n', relat_x100)
exactitud=1-errorrelativo;
fprintf('La exactitud del cálculo es %0.6f ..n', exactitud)