El cálculo de la derivada de una función puede ser un proceso "difícil" ya sea por lo complicado de la definición analítica de la función o por que esta se conoce únicamente en un número discreto de puntos.
Estudiaremos técnicas para aproximar las derivadas de una función y veremos el análisis de error de dichas formulas
•Para aproximar la derivada numéricamente usaremos cocientes de diferencias.
•Para derivar las formulas usaremos el Teorema de Taylor
Existen 3 diferentes tipos de aproximación numérica:
•Aproximación a la primera derivada con diferencias hacia atrás
•Aproximación a la primera derivada con diferencias hacia adelante
• Aproximación a la primera derivada con diferencias centrales
Aproximación a la primera derivada con diferencias hacia atrás
La serie de Taylor se puede expandir hacia atrás para calcular un valor anterior sobre el valor actual, dada por:
Truncando la ecuación después de la primera derivada y ordenando los términos se obtiene:
Donde los errores es 0 (h) y el diferencial indica la primer diferencia dividida hacia atrás.
Aproximación a la primera derivada con diferencias hacia adelante
Donde al diferencial se le conoce como la primera diferencia hacia adelante y a h se le llama tamaño del paso, esto es, la longitud del intervalo sobre el cual se hace la aproximación. Se le llama diferencia " hacia adelante " ya que usa los datos(i) e (i+1) para estimar la derivada. Al termino completo (o sea, la diferencial entre h ) se conoce como primera diferencia dividida finita.
Aproximación a la primera derivada con diferencias centrale
Una tercera forma de aproximar la primer derivada es restar la ecuación de la expansión en serie de Taylor hacia adelante:
Para obtener:
Que se puede resolver para:
Esta ultima ecuación es una representación de las diferencias centrales de la primera derivada. Nótese que el error de truncamiento es del orden de en contraste con las diferencias divididas hacia adelante y hacia atrás, las cuales fueron de orden h.
Por lo tanto, el análisis de la serie de Taylor ha llevado a la información practica de que la diferencia central es la representación mas exacta de la derivada. Por ejemplo, si se parte el tamaño del paso a la mitad usando diferencias hacia atrás o hacia adelante, el error se reducirá aproximadamente a la mitad, mientras que para diferencias centrales, el error se reduce a la cuarta parte.
Integracion Numerica
En ingeniería se presenta con frecuencia la necesidad de integrar una función que sería, en general, de una de las tres formas siguientes:
1.Una función simple y continua tal como un polinomio, una función exponencial o una función trigonométrica.
2.Una función complicada y continua que es difícil o imposible de integrar directamente.
3.Una función tabulada en donde los valores dex yf(x) se dan en un conjunto de puntos discretos, como es el caso a menudo, de datos experimentales.
En el primer caso, la integral simplemente es una función que se puede evaluar fácilmente usando métodos analíticos aprendidos en el cálculo. En los dos últimos casos, sin embargo, se deben emplear métodos aproximados. Las fórmulas de integración de Newton-Cotes son los esquemas más comunes dentro de la integración numérica. Se basan en la estrategia de reemplazar una función complicada o un conjunto de datos tabulares con alguna función aproximada que sea más fácil de integrar. La integral se puede aproximar usando una serie de polinomios aplicados por partes a la función o a los datos sobre intervalos de longitud constante. Se dispone de las formas abierta y cerrada de las fórmulas de Newton-Cotes.
Las formas cerradas son aquellas en donde los puntos al principio y al final de los límites de integración se conocen. Las fórmulas abiertas tienen los límites de integración extendidos más allá del rango de los datos. Las fórmulas abiertas deNewton-Cotes, en general, no se usan en la integración definida. Sin embargo, se usan extensamente en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias.
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