Simpson

Regla de Simpson: Utilizamos ahora un polinomio de interpolación cuadrático. Sea p₂(x) el polinomio de grado (a lo más) dos que interpola a f(x) en x=a, x=(a+b)/2, x=b. Este polinomio se puede escribir como:

Tenemos ahora que

Pero con h=(b-a)/2 y u=x-a tenemos que

En forma similar se obtiene que

Tenemos pues que

 (**)

Argumentando en forma similar a en método del trapezoide, tenemos que si n es un entero par (¿por qué?) entonces

Usando la fórmula (**) podemos aproximar

Ahora

Esta fórmula se conoce como la regla (compuesta) de Simpson para aproximar a I(f).

Ejemplo 2: Usando la regla de Simpson con n=2 y n=4 aproximamos:

cuyo valor exacto es  correcto al número de cifras mostradas. Para n=2 tenemos que h=(2-1)/2=0.5, x₀=1, x₁=1.5, x₂=2. Ahora

Con n=4 tenemos h=(2-1)/4=0.25, x₀=1, x₁=1.25, x₂=1.5, x₃=1.75, x₂=2, de modo que