Análisis Numérico

miércoles, 8 de junio de 2011

martes, 7 de junio de 2011

Gauss investigo y encontró que es factible disminuir el error en la integración cambiando la localización de los puntos sobre la curva de integración f(x). El investigador desarrollo su propio método conocido como cuadratura de Gauss.

Se tiene la curva de la función f(x) que se desea integrar entre los limites a y b. La parte (a) de la figura muestra como se integraría usando un trapezoide: uniendo el punto A de coordenadas (a,f(a)) con el punto B (b,f(b)) mediante un segmento de recta P1(x) Esto forma un trapezoide de base h = (b-a) cuya área es:

T= h / 2 [f(a) + f(b)],

Y que podía escribirse como

T = W1 f(a) + W2 f(b)

Donde W1 = W2 = h / 2

Por otro lado en la aplicación de la cuadratura de Gauss en lugar de tomar los dos puntos A y B en los extremos del intervalo se escogen dos puntos interiores C y D

METODO METODO

TRAPEZOIDE DE GAUSS CON DOS PUNTOS

Gauss se propuso desarrollar una formula del tipo.

A = W1 F(Z1) + W2 F(Z2)

Ya que esto simplificaría relativamente el calculo del área. El problema planteado de esta manera consiste en encontrar los valores de Z1, Z2 W1 y W2 Entonces hay cuarto parámetros por determinar y por tanto cuatro condiciones que se pueden imponer.

Si los límites son distintos se hace un cambio de variable para pasarlos a -1 y 1

En general si se desea calcular dx se cambia el intervalo de integración con la siguiente formula.

Z= 2x – (a + b) / b – a

Ya que si x = a, Z = - 1 y si X = b, Z = 1

El integrando f(x) en términos de la nueva variable queda

F(x) = F ( b – a / 2 (z) + a + b / 2)

dx= b – a / 2 dz

Una cuestión importante es que el método de gauss puede extenderse a tres o más puntos en generar el algoritmo tienen la forma

dz = A = W1 F (Z1) + W2 F(Z2) + W3 F (Z3) + ………+ Wn F (Zn)

Donde se han calculado los valores de Wi y Zi por usar la tabla mustra estas constantes. Con dos puntos el método de gauss esta diseñado para obtener exactitud en polinomios cúbicos con tres se tendrá exactitud en polinomio de cuarto grado y así sucesivamente.

Numero de coeficientes wi abscisas zi

Puntos

2 W1 = W2 = 1.0 - Z1 = Z2 = 0.5773502692

3 W2 = 0-888888 -Z1 = Z3 = 0.7745966692

W1 = W2 = 0.55555 Z2= 0.0

4 W1 = W4 = 0.3478548451 -Z1 = Z4 = 0.8611363116

W2 = W3 = 0.6521451549 -Z2 = Z3 = 0.3399810436

EJERCICIO.

Integre la función 1 / e – x2 / 2 en el intervalo (- 0.8 , 1.5) por cuadratura de gauss.

SOLUCION

A) Con dos puntos

Cambio de límites de la integral con la ecuación

Z = 2x - (a + b) / b – a

X (- 0.8) = 2(-0.8) – (.7) / 2.3 = - 1

X (1.5) = 2 (1.5) – (.7) / 2.3 = 1

Si X = 0.8, z = - 1 Si X = 1.5, Z = 1

Con el cambio de la función en términos de la nueva variable z queda

I = 1 / dx

I = 1 /

[1.5 – (-0.8) /2] e – [1.5 – (-0.8)/ 2 Z + - 0.8 + 1.5 / 2 ] 2 / 2 dz

I = 2.3 / 2

e – (2.3 Z + 0.7)2 / 8 dz

De l a tabla W1 =W2 = 1.0; - Z1 = Z2 = 0.5773502692 al evaluar la función del integrando en Z1, Z2

F (0.5773502692) = e – [2.3 (0.5773502692)+ 0.7] 2 / 8 = 0.5980684

F (-0.5773502692) = e – [2.3 (-0.5773502692)+ 0.7] 2 /8 = 0.9519115

Se aplica la ecuación

I = 2.3 / 2

[1(0.5980684)+1(0.9519115)]= 0.711105

B) CON TRES PUNTOS

W1 = W2 = 0.55555 W2 = 0.88888

-Z1 = Z3 = 0.7745966692 Z2 = 0.0

Al evaluar la función del integrando en Z1, Z2, Y Z3

I= 2.3 / 2

[0.5555 (0.4631)+ 0.88888 (0.9405)+0.5555 (0.8639) ]= 0.721825

Simpson

Regla de Simpson: Utilizamos ahora un polinomio de interpolación cuadrático. Sea p₂(x) el polinomio de grado (a lo más) dos que interpola a f(x) en x=a, x=(a+b)/2, x=b. Este polinomio se puede escribir como:

Tenemos ahora que

Pero con h=(b-a)/2 y u=x-a tenemos que

En forma similar se obtiene que

Tenemos pues que

(**)

Argumentando en forma similar a en método del trapezoide, tenemos que si n es un entero par (¿por qué?) entonces

Usando la fórmula (**) podemos aproximar

Ahora

Esta fórmula se conoce como la regla (compuesta) de Simpson para aproximar a I(f).

Ejemplo 2: Usando la regla de Simpson con n=2 y n=4 aproximamos:

cuyo valor exacto es

correcto al número de cifras mostradas. Para n=2 tenemos que h=(2-1)/2=0.5, x₀=1, x₁=1.5, x₂=2. Ahora

Con n=4 tenemos h=(2-1)/4=0.25, x₀=1, x₁=1.25, x₂=1.5, x₃=1.75, x₂=2, de modo que

Trapecio

Método del trapezoide:

Sea p₁(x) el polinomio lineal que interpola a f(x) en x=a y x=b, i.e.,

Usando la fórmula para el area de un trapezoide o integrando p₁(x) directamente se obtiene que

Asi que podemos escribir la aproximación:

(*)

Más adelante análizamos en detalles el error en esta aproximación. Por el momento basta observar que la aproximación es buena siempre que f sea aproximadamente lineal. En el caso general, dividimos el intervalo [a,b] en subintervalos más pequeños y aplicamos la fórmula anterior en cada subintervalo. Si los subintervalos son suficientemente pequeños, entonces f es aproximadamente lineal en cada subintervalo y la aproximación es buena. Definimos el largo de los subintervalos por:

El j-esimo subintervalo esta dado por [x_j-1,x_j] donde

Podemos escribir ahora que:

Usando la aproximación (*) podemos escribir

Usando esto en la fórmula anterior, obtenemos que

Esto se conoce como la regla (compuesta) del trapezoide para aproximar I(f).

Ejemplo 1: Usando la regla del trapezoide con n=2 y n=4 aproximamos: