Primer Parcial

• Raices de ecuaciones
• Graficador XY
• Numeros de punto flotante en 32 y 64 bits
• Series de Taylor-Maclaurin
• Tipos de errores

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Cuadratura de Gauss

Gauss investigo y encontró que es factible disminuir el error en la integración cambiando la localización de los puntos sobre la curva de integración  f(x). El investigador desarrollo su propio método conocido como cuadratura de Gauss.

Se tiene la curva de la función f(x) que se desea integrar entre los limites a y b. La parte (a)  de la figura muestra como se integraría  usando un trapezoide: uniendo el punto A  de coordenadas  (a,f(a)) con el punto B (b,f(b)) mediante un  segmento de recta  P1(x)  Esto forma un trapezoide de base h = (b-a) cuya área es:

                                   T= h / 2 [f(a) + f(b)],

Y que podía escribirse como

          T  = W1 f(a) + W2 f(b)

Donde W1 = W2 = h / 2

Por otro lado en la aplicación  de la cuadratura de Gauss en lugar de tomar los dos puntos A y B en los extremos del intervalo se escogen dos puntos interiores C y D

    

                                                           

  METODO                                                        METODO                                              

TRAPEZOIDE                                 DE GAUSS CON DOS  PUNTOS

Gauss  se propuso desarrollar una formula del tipo.

            A = W1 F(Z1) + W2 F(Z2)

Ya que esto simplificaría relativamente el calculo del área. El problema planteado de esta manera consiste en encontrar los valores de Z1, Z2  W1 y W2 Entonces hay  cuarto parámetros por determinar y por tanto cuatro condiciones que se pueden imponer.

Si los límites son distintos se hace un cambio de variable para pasarlos a -1 y 1

En general si se desea calcular   dx se cambia el intervalo de integración con la siguiente formula.

                        Z= 2x – (a + b)  /  b – a

Ya que si x = a, Z = - 1  y si  X = b, Z = 1

El integrando f(x) en términos de la nueva variable  queda

                                   F(x)  = F ( b – a / 2  (z) + a + b / 2)

                                   dx=  b – a / 2 dz

Una cuestión importante es que el método de gauss  puede extenderse a tres o más puntos en generar el algoritmo  tienen la forma

dz = A = W1 F (Z1) + W2 F(Z2) + W3 F (Z3) + ………+ Wn F (Zn)

Donde se han calculado los valores de Wi  y Zi  por usar  la tabla mustra estas constantes. Con dos puntos el método de gauss esta diseñado para obtener exactitud  en polinomios cúbicos con tres se tendrá  exactitud  en polinomio de cuarto grado y así sucesivamente.

Numero de                            coeficientes wi                            abscisas zi

Puntos

      2                                      W1 = W2 = 1.0                        - Z1 = Z2 = 0.5773502692

3                                     W2 = 0-888888                           -Z1 = Z3 = 0.7745966692

         W1 = W2 = 0.55555                              Z2= 0.0

     4                                     W1 = W4 = 0.3478548451           -Z1 = Z4 = 0.8611363116                               

                                             W2 = W3 = 0.6521451549          -Z2 = Z3 = 0.3399810436

EJERCICIO.

Integre la función  1 /       e – x2  / 2   en el intervalo   (- 0.8 , 1.5) por cuadratura de gauss.

SOLUCION

A)    Con dos puntos 

Cambio de límites de la integral con la ecuación

Z =  2x - (a + b) / b – a   

X  (- 0.8) = 2(-0.8) – (.7)  / 2.3 = - 1

X  (1.5) =   2 (1.5) – (.7)  / 2.3 =   1 

              Si X = 0.8, z = - 1 Si X = 1.5, Z = 1

Con el cambio de la función en términos de la nueva variable z queda

I = 1 /      dx

I =  1 /      [1.5 – (-0.8) /2] e – [1.5 – (-0.8)/ 2 Z + - 0.8 + 1.5 / 2 ] 2 / 2 dz

I = 2.3 /  2  e – (2.3 Z + 0.7)2  /  8 dz

De l a tabla  W1 =W2 = 1.0;  - Z1 = Z2 = 0.5773502692  al evaluar  la función  del integrando en Z1, Z2

F (0.5773502692) =  e – [2.3 (0.5773502692)+ 0.7] 2 / 8 = 0.5980684

F (-0.5773502692) =  e – [2.3 (-0.5773502692)+ 0.7] 2 /8 = 0.9519115

Se aplica la ecuación

I = 2.3 /  2  [1(0.5980684)+1(0.9519115)]= 0.711105

B)    CON TRES PUNTOS

       W1 = W2 = 0.55555 W2  = 0.88888

       -Z1 = Z3 = 0.7745966692 Z2 = 0.0

Al evaluar la función del integrando en Z1, Z2, Y  Z3

I=  2.3 /  2  [0.5555 (0.4631)+ 0.88888 (0.9405)+0.5555 (0.8639) ]= 0.721825

  

Simpson

Regla de Simpson: Utilizamos ahora un polinomio de interpolación cuadrático. Sea p₂(x) el polinomio de grado (a lo más) dos que interpola a f(x) en x=a, x=(a+b)/2, x=b. Este polinomio se puede escribir como:

Tenemos ahora que

Pero con h=(b-a)/2 y u=x-a tenemos que

En forma similar se obtiene que

Tenemos pues que

 (**)

Argumentando en forma similar a en método del trapezoide, tenemos que si n es un entero par (¿por qué?) entonces

Usando la fórmula (**) podemos aproximar

Ahora

Esta fórmula se conoce como la regla (compuesta) de Simpson para aproximar a I(f).

Ejemplo 2: Usando la regla de Simpson con n=2 y n=4 aproximamos:

cuyo valor exacto es  correcto al número de cifras mostradas. Para n=2 tenemos que h=(2-1)/2=0.5, x₀=1, x₁=1.5, x₂=2. Ahora

Con n=4 tenemos h=(2-1)/4=0.25, x₀=1, x₁=1.25, x₂=1.5, x₃=1.75, x₂=2, de modo que

Trapecio

Método del trapezoide:

Sea p₁(x) el polinomio lineal que interpola a f(x) en x=a y x=b, i.e.,

Usando la fórmula para el area de un trapezoide o integrando p₁(x) directamente se obtiene que

Asi que podemos escribir la aproximación:

 (*)

Más adelante análizamos en detalles el error en esta aproximación. Por el momento basta observar que la aproximación es buena siempre que f sea aproximadamente lineal. En el caso general, dividimos el intervalo [a,b] en subintervalos más pequeños y aplicamos la fórmula anterior en cada subintervalo. Si los subintervalos son suficientemente pequeños, entonces f es aproximadamente lineal en cada subintervalo y la aproximación es buena. Definimos el largo de los subintervalos por:

El j-esimo subintervalo esta dado por [x_j-1,x_j] donde

Podemos escribir ahora que:

Usando la aproximación (*) podemos escribir

Usando esto en la fórmula anterior, obtenemos que

Esto se conoce como la regla (compuesta) del trapezoide para aproximar I(f).

Ejemplo 1: Usando la regla del trapezoide con n=2 y n=4 aproximamos:

cuyo valor exacto es  correcto al número de cifras mostradas.
 Para n=2 tenemos que h=(2-1)/2=0.5, x₀=1, x₁=1.5, x₂=2.

 Ahora


Con n=4 tenemos h=(2-1)/4=0.25, x₀=1, x₁=1.25, x₂=1.5, x₃=1.75, x₂=2, de modo que

Diferenciacion e Integracion Numerica

Diferenciacion Numerica

El cálculo de la derivada de una función puede ser un proceso "difícil" ya sea por lo complicado de la definición analítica de la función o por que esta se conoce únicamente en un número discreto de puntos.

Estudiaremos técnicas para aproximar las derivadas de una función y veremos el análisis de error de dichas formulas

•Para aproximar la derivada numéricamente usaremos cocientes de diferencias. 

•Para derivar las formulas usaremos el Teorema de Taylor

Existen 3 diferentes tipos de aproximación numérica:

•Aproximación a la primera derivada con diferencias hacia atrás
•Aproximación a la primera derivada con diferencias hacia adelante
• Aproximación a la primera derivada con diferencias centrales

Aproximación a la primera derivada con diferencias hacia atrás

La serie de Taylor se puede expandir hacia atrás para calcular un valor anterior sobre el valor actual, dada por: 

Truncando la ecuación después de la primera derivada y ordenando los términos se obtiene:

 Donde los errores es 0 (h) y el diferencial indica la primer diferencia dividida hacia atrás. 

Aproximación a la primera derivada con diferencias hacia adelante

Donde al diferencial se le conoce como la primera diferencia hacia adelante y a h se le llama tamaño del paso, esto es, la longitud del intervalo sobre el cual se hace la aproximación. Se le llama diferencia " hacia adelante " ya que usa los datos(i) e (i+1) para estimar la derivada. Al termino completo (o sea, la diferencial entre h ) se conoce como primera diferencia dividida finita.

Aproximación a la primera derivada con diferencias centrale

 Una tercera forma de aproximar la primer derivada es restar la ecuación de la expansión en serie de Taylor hacia adelante:

Para obtener: 

Que se puede resolver para:

Esta ultima ecuación es una representación de las diferencias centrales de la primera derivada. Nótese que el error de truncamiento es del orden de en contraste con las diferencias divididas hacia adelante y hacia atrás, las cuales fueron de orden h. 

Por lo tanto, el análisis de la serie de Taylor ha llevado a la información practica de que la diferencia central es la representación mas exacta de la derivada. Por ejemplo, si se parte el tamaño del paso a la mitad usando diferencias hacia atrás o hacia adelante, el error se reducirá aproximadamente a la mitad, mientras que para diferencias centrales, el error se reduce a la cuarta parte.

Integracion Numerica

En ingeniería se presenta con frecuencia la necesidad de integrar una función que sería, en general, de una de las tres formas siguientes:

1.Una función simple y continua tal como un polinomio, una función exponencial o una función trigonométrica.

2.Una función complicada y continua que es difícil o imposible de integrar directamente.

3.Una función tabulada en donde los valores dex yf(x) se dan en un conjunto de puntos discretos, como es el caso a menudo, de datos experimentales.

 En el primer caso, la integral simplemente es una función que se puede evaluar fácilmente usando métodos analíticos aprendidos en el cálculo. En los dos últimos casos, sin embargo, se deben emplear métodos aproximados. Las fórmulas de integración de Newton-Cotes son los esquemas más comunes dentro de la integración numérica. Se basan en la estrategia de reemplazar una función complicada o un conjunto de datos tabulares con alguna función aproximada que sea más fácil de integrar. La integral se puede aproximar usando una serie de polinomios aplicados por partes a la función o a los datos sobre intervalos de longitud constante. Se dispone de las formas abierta y cerrada de las fórmulas de Newton-Cotes. 

Las formas cerradas son aquellas en donde los puntos al principio y al final de los límites de integración se conocen. Las fórmulas abiertas tienen los límites de integración extendidos más allá del rango de los datos. Las fórmulas abiertas deNewton-Cotes, en general, no se usan en la integración definida. Sin embargo, se usan extensamente en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias.